Q1 Gener 2024
El que jo no entenia era d’on sortia l’expressió del principi
Anem a deduir-la conceptualment.
Aviam la majoria del que hi ha aquí sota és innecessari. El que no acabo d’entendre és si hi ha alguna diferència entre i o si són el mateix nombre de microestats.
Previ: ones estacionàries
Sabem que una ona estacionària fixada pels seus dos extrems té un nombre discret de longituds d’ona possibles
Imatge
On és el número del mode de vibració normal (en so correspon a un harmònic). I la velocitat de propagació de la ona (que és la velocitat del so en el sòlid).
En el Model de Debye considerem que el sòlid (modelitzat com a oscil·ladors harmònics acoblats amb els veïns) vibra com un superposició de modes de vibració anomenats ‘modes normals’, els quals corresponen a ones estacionàries.
Si és un sistema de oscil·ladors harmònics unidimensionals acoblats (cadena) hi haurà exactament modes normals de vibració.
Exemple: dos oscil·ladors acoblats tenen 2 modes normals
Mode normal
Mode normal
Mode normal
Si diagonalitzem la matriu d’acoblament
On i .
La freqüència d’aquests modes va des de fins a (freqüència de Debye). És a dir existeix una freqüència màxima.
Si en canvi tenim una xarxa de oscil·ladors harmònics (lattice que es diu en anglès) hi haurà exactament modes de vibració en una ona que es propagui en l’eix (ona ) i modes de vibració d’una ona que es propagui en l’eix (ona ).
Visualització ona i ona
Si tenim 3 dimensions tindrem ona per l’eix , ona per l’eix i ona per l’eix
Considerant aquesta orientació d’eixos clar.
En total doncs hi haurà modes de vibració. Però és important fer èmfasis en que les ones seran independents, és a dir
Com contem microestats
Recordem que quan tenim una variable discretitzada, en aquest cas (o ), podem contar els microestats possibles de manera aproximada de la següent manera.
Suposem que tenim una el·lipse de radis i . Aquests radis són nombres reals. En canvi en els eixos - hi tenim representats uns puntets corresponents a . Si ara passem a representar uns nous puntets , cal notar que aquests puntets no tenen perquè caure just en nombres enters, de manera que si un microestat tenia volum , ara un microestat té volum .
Diem que un microestat té volum , en tant que podem adjudicar a cada quadradet el seu punt de dalt a la dreta, i per tant hi ha el mateix nombre de quadradets que de punts.
Calcular doncs una àrea arbitrària i dividir per l’àrea d’un quadradet és equivalent a contar el nombre de puntets que hi ha. I el mateix per puntets que formen rectangles, és a dir els microestats .
La regió en la que estarem interessats serà l’escorça d’el·lipse que es troba entre i . De seguida veurem que podem passar-ho a una escorça esfèrica del mateix volum (àrea) que anirà simplement des de a .
Nota
Aquí a les imatges es veuen tots els puntets però únicament n’hi hauria d’haver el primer quadrat, ja que .
Cal tenir en compte també que aquest espai 2D pot o pot no correspondre’s a l’espai real de la caixa. Si posem el SRI a baix a l’esquerre de la caixa, aleshores sí, però podríem representar l’espai de fases o de configuracions si volguéssim i llavors sí que no serien el mateix espai.
Previ: volum d’un el·lipsoide
Tenim que podem expressar una escorça esfèrica com a , on aquí fa referència a tota una escorça de superfície i gruix (enlloc d’un trosset petit de volum).
Aquesta superfície, la podríem calcular integrant l’angle sòlid .
Recordem els diferents valors de l’ per cada dimensió
Si enlloc de la closca d’una esfera, tinguéssim la closca d’un el·lipsoide podem gestionar-ho igualment. Hem vist aquí que podem crear-nos una esfera amb el mateix volum que el nostre el·lipsoide (de radis ) a partir d’utilitzar un radi tal que
Així doncs, si tenim un vector definit com a , el seu mòdul seria , que no ens interessa. Ens anirà millor passar de a , el qual fixem-nos que té per mòdul al quadrat
Nota: Si fos en 3 dimensions ens interessaria . I ídem per dimensions.
Càlcul final
Tenim doncs que la regió que ens interessa és la que es troba en el primer quadrant d’una escorça d’el·lipse que va des de fins a .
Anem a passar-ho a una escorça esfèrica, tindrà per radi .
Ara que tenim definit el radi, anem a calcular el diferencial de volum d’aquesta esfera
Ja que sabem que en 2D tenim . Molt bé i per tant la densitat d’estats queda
I finalment, per obtenir la densitat de microestats correcta, cal que només considerem el primer quadrant, ( positiva ja que i positives). I per tant hem de dividir entre , que per dimensions equival a dividir entre .
Així doncs el resultat correcte és