Diagonalització ràpida
Vídeos sobre diagonalització
Diagonalitzar una matriu 2x2 en 5 minuts (minuts 2:30 - 6:40)
Diagonalitzar una matriu 3x3:
Entendre visualment la diagonalització, els valors propis i els vectors propis:
Exemple
Volem diagonalitzar , és a dir trobar , i tals que es compleixi
Polinomi Característic
Obtenint
Quan un autovalor apareix dues vegades diem que té multiplicitat algebraica 2. Formalment els autovalors serien
Aleshores la matriu diagonal, tindrà aquests autovalors a la seva diagonal. Els podem posar en qualsevol ordre (és a dir hi ha 3 versions de possibles), però després hem de posar els autovectors en amb el mateix ordre que hàgim triat.
Per trobar la matriu de canvi de base primer hem de calcular els autovectors corresponents a cada autovalor.
Opció 1
Opció 2
Obtenint que la base que compleix és
I per tant
Fent el mateix per l’altre autovector obtenim que la base que compleix és
És a dir que
Quedant la matriu de la següent forma
I si calculem la inversa a través dels adjunts (pico y pala) obtenim